分数阶导数主要包括以下几种形式

定义1(Caputo分数阶导数)设的阶导数在上可积，则称为阶Caputo分数阶导数，其中为非负整数。

定义2(左Riemann-Liouville分数阶导数)设是定义在上可积的可积函数，则称为阶左Riemann-Liouville分数阶导数。

定义3(右Riemann-Liouville分数阶导数)设是定义在上可积的可积函数，则称为阶左Riemann-Liouville分数阶导数。

定义4(Riesz分数阶导数)设是定义在上可积的可积函数，则称为阶Riesz分数阶导数。

目前，对于分数阶非线性偏微分方程的数值求解有些研究已比较深入，并取得了一定的进展。涌现出了一些求解方法及研究成果，包括有限元方法、有限体积方法、有限差分法、区域分解法等。有些分数阶非线性偏微分方程的数值求解方法则刚刚开始研究或有待深入研究。有限差分法以其计算形式简洁、运算简单、理论分析相对较容易等而被广泛研究和应用。高精度算法可以降低计算复杂度和存储量，提高计算效率。因此，进一步探讨分数阶非线性偏微分方程的高精度有限差分方法是十分必要且重要的。

分数阶偏微分方程主要分为三类：时间分数阶偏微分方程、空间分数阶偏微分方程以及时空分数阶偏微分方程。本文主要考虑的是求解带有时间分数阶Caputo型导数的非线性Burgers方程的有限差分方法。

Burgers方程是一个重要的非线性模型，在等离子物理、量子场论、非线性光学和通信技术等领域有着重要的地位和作用。它是一个双曲—抛物型方程，描述物理问题的对流和耗散的综合过程，兼有一阶波动方程和热传导方程的特性。Burgers方程是Navier-Stokes方程的某种简化形式，虽然它不含压力梯度项，但与不可压Navier-Stokes方程具有相同的“对流”和“耗散”形式，可以期望通过对Burgers方程的数值模拟来研究Navier-Stokes方程的性态。而分数阶Burgers方程涉及很多不同的物理问题，比如说气体的超速传送,半导体增长的的不规则扩散,流体动力学,生理学,声波在隧道里的传播以及某些燃烧模型等。因此，对时间分数阶Burgers方程的数值解的研究具有一定的实际意义．

本文考虑的阶()Caputo型分数阶导数，它的定义如下：.

目前已有很多数值方法求解时间分数阶Burgers方程。Momani[6]利用Adomian分解方法给出了时间、空间分数阶Burgers方程的非摄动解析解。Inc[7]利用变分迭代法求解时间、空间分数阶Burgers方程。Wang[8,9]利用同伦摄动与Adomian分解方法得到了非线性分数阶Kdv-Burgers方程的近似解。Chen等[10]通过Adomian分解法对耦合的时空分数阶Burgers方程构造了数值格式。Soliman[11]对二维的时空分数阶Burgers方程利用FVIM方法建立数值格式。马维元等[12]应用微分变换方法求解时间和空间带分数阶导数的耦合Burgers方程组。El-Danaf等[13]给出了利用三次样条函数构造数值格式来逼近时间分数阶Burgers方程,并用Von-Numann方法分析了格式的稳定性。吴小伴等[14]建立了一维和二维分数阶Burgers方程的有限元格式。时间分数阶导数使用L1方法[5]离散，空间方向使用有限元方法离散．通过选择合适的基函数，将离散后的方程转化成一个非线性代数方程组，并应用牛顿迭代方法求解。彭春晓等[15]利用同伦摄动法求关于时间分数阶耦合Burgers方程组的二阶近似解。Prakash等[16]利用FVIM方法来逼近一维的耦合的时空分数阶Burgers方程。Esen等[17]应用三次B样条有限元对时间分数阶Burgers方程构造数值求解格式，其中时间分数阶导数采用L1公式来进行离散。

本文主要研究应用L1公式和L2-1σ公式对时间分数阶Burgers方程构造线性和稳定的差分格式，下面先介绍这两个公式。